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        1. (2012•雅安)在直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1,0)和點B,頂點為P.
          (1)若點P的坐標為(-1,4),求此時拋物線的解析式;
          (2)若點P的坐標為(-1,k),k<0,點Q是y軸上一個動點,當k為何值時,QB+QP取得最小值為5;
          (3)試求滿足(2)時動點Q的坐標.
          分析:(1)根據(jù)頂點設出拋物線頂點式解析式為y=a(x+1)2+4,然后把點A的坐標代入求出a的值,即可得解;
          (2)根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,找出點P關于y軸的對稱點P′,連接BP′交y軸于點Q,則QB+QP最小,即QB+QP′最小,再根據(jù)拋物線的對稱性求出點B的坐標,然后求出AB,再Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可得到k的值;
          (3)根據(jù)△BOQ和△BAP′相似,利用相似三角形對應邊成比例列式求出OQ的值,即可得到點Q的坐標.
          解答:解:(1)∵頂點P的坐標為(-1,4),
          ∴設拋物線解析式為y=a(x+1)2+4,
          將點A(1,0)坐標代入,得a(1+1)2+4=0,
          解得a=-1,
          所以拋物線解析式為y=-(x+1)2+4(或y=-x2-2x+3);

          (2)作點P關于y軸的對稱點P′(1,k),連接BP′交y軸于點Q,
          所以,QP=QP′,
          點Q即為所求的使QB+QP取得最小值時的點,
          ∵點A(1,0),對稱軸為直線x=-1,
          ∴點B(-3,0),
          ∴AB=1-(-3)=1+3=4,
          ∵QB+QP取得最小值為5;
          ∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5,
          在Rt△ABP′中,AB2+AP′2=BP′2,
          即42+k2=52
          解得k=3或k=-3,
          ∵k<0,
          ∴k=-3;

          (3)由(2)知,△BOQ∽△BAP′,
          BO
          BA
          =
          OQ
          AP

          3
          4
          =
          OQ
          3
          ,
          ∴OQ=
          9
          4

          所以Q點的坐標為(0,-
          9
          4
          ).
          點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,利用軸對稱確定最短路線問題,勾股定理的應用,相似三角形對應邊成比例的性質(zhì),(1)利用頂點式解析式形式求解比較簡單,(2)找出點P關于y軸的對稱點P′確定出點Q的位置是解題的關鍵.
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          2
          5
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          1
          3
          1
          3

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          ①②④
          ①②④

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