Question

如圖，在直角坐標系中，⊙M外接于矩形OABC，AB=3，BC=4，點A在y軸上，點C在x軸上．
（1）過點A作⊙M的切線交x軸于點P，求直線PA的解析式；
（2）點F為線段PC上的一點，連接AF，若AF將四邊形ABCP面積平分，求點F的坐標；
（3）如果點E為PA上的一個動點（不運動到點P，點A），直線EF將四邊形PABC的周長平分，設(shè)點E縱坐標為t，△PEF的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量t的取值范圍；直線EF能否將四邊形PABC的周長和面積同時平分？若存在，請求出直線EF的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，則AC⊥AP，先求出PO，再求出點P坐標，就可得出PA的解析式；
（2）先求出四邊形PABC的面積，再設(shè)PF，求出PF的長度，就可得出點F的坐標；
（3）過E作EN⊥x軸于N，由三角形相似得出各線段比，然后求出PE，PF，再得出t的取值范圍，然后用t表示S，最后由△得出EF，不存在．

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥AP，PO=

16

3

，
∴P（

16

3

，0），直線PA的解析式為y=-

3

4

x+4；

（2）S_PABC=

1

2

(3+

25

3

)×4=

68

3

，設(shè)PF=a，
則

1

2

a×4=

1

2

×

68

3

，a=

17

3

，
∴F（-

1

3

，0）；

（3）過E作EN⊥x軸于N，

EN

AO

=

PE

PA

，

t

4

=

PE

20 3

，PE=

5

3

t，
四邊形PABC的周長是22，直線EF將周長平分，
PE+PF=11，PF=11-

5

3

t，
S=

1

2

PF•EN=-

5

6

t2+

11

2

t．
由

t＞0 t＜4 0＜11- 5 3 t＜ 25 3

解得

8

5

＜t＜4，
由S=-

5

6

t2+

11

2

t=

34

3

，化簡得5t²-33t+68=0，
△=1089-1360＜0，
所以這樣的EF不存在．

點評：本題涉及一次函數(shù)的綜合性質(zhì)，難度中上．