Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.

（Ⅰ)探究新知

如圖① ⊙O是△ABC的內切圓，與三邊分別相切于點E、F、G..

（1）求證內切圓的半徑r₁=1;

（2）求tan∠OAG的值；

（Ⅱ）結論應用

（1）如圖②若半徑為r₂的兩個等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂的值；

（2）如圖③若半徑為r_n的n個等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n均與AB相切，求r_n的值.

Answer 1

   （Ⅰ）（1）證明：在圖①中，連結OE,OF,OA. 

 ∵四邊形CEOF是正方形，     ……………………1分

CE=CF=r₁.

又∵AG=AE=3-r₁，BG=BF=4-r₁，

AG+BG=5，

∴（3-r₁）+（4-r₁）=5.

即r₁=1.                             ……………………3分

（2）連結OG，在Rt△AOG中，

∵r₁=1， AG= 3-r₁=2，

tan∠OAG==；                ……………………5分

（Ⅱ）(1)連結O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E，AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC.

由tan∠OAG=，知tan∠O₁AD=，

同理可得：tan∠O₂BE== ，           

    ∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂.              …………………6分

∵AD+DE+BE=5，

r₂=;                                ……………………8分

(2)如圖③，連結O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于點D、O₂E⊥AB交于點E、…、O_nM⊥AB交于點M.

則AO₁、BO₂分別平分∠CAB、∠ABC.

tan∠O₁AD=，tan∠O_nBM=,

     AD=2r_n，DE=2r_n，…,MB=3r_n，

又∵AD+DE+…+MB=5，

2r_n+2r_n+…+3r_n=5,

(2n+3) r_n=5,

r_n=.                  …………………………………10分