Question

已知拋物線y=a（x﹣m）²+n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．

（1）如圖1，求拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達(dá)式．

（2）如圖2，若拋物線y=a（x﹣m）²+n（m＞0）的伴隨直線是y=x﹣3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的表達(dá)式．

（3）如圖3，若拋物線y=a（x﹣m）²+n的伴隨直線是y=﹣2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．用含b的代數(shù)式表示m、n的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達(dá)式為 

（2）拋物線的表達(dá)式為

（3）， .                           

【解析】

試題分析：（1）由題意可知：A(0，5)，B(2，1)，                     

設(shè)伴隨直線AB的表達(dá)式為，

∴

解得

∴拋物線y=（x﹣2）²+1的伴隨直線的表達(dá)式為.      

（2）令，得，∴A(0，-3)，

由題意可知：頂點(diǎn)B(m，n)在伴隨直線y=x﹣3上，

∴n=m-3，

∴B(m，m-3)，                                         

∵點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D，

∴C(0，3) ，D(-m，-m+3)，

過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E.

∵ m＞0，

∴ ，

∵伴隨四邊形ABCD的面積為12，

∴，

∴，

∴，                                            

∴B(2，-1)，

∴ ，

把A(0，-3)代入中，

得：，

∴拋物線的表達(dá)式為.                 

（3）∴伴隨直線AB；y=﹣2x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F (，0) ，A(0，b)，

∴C(0，-b)

∵伴隨四邊形ABCD是矩形，

∴頂點(diǎn)B(m，n)在y軸右側(cè)的直線y=﹣2x+b上，

∠ABC＝90º，

∴B(m，-2m+b)，

過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E.

∴E(0，-2m+b)，

∴tan=tan，或證△ABE∽△BCE     

∴，

∴，                                       

∴.                           

考點(diǎn)：一次函數(shù)，二次函數(shù)，矩形

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)，矩形，解答本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式子，熟悉矩形的性質(zhì)，本題難度較大