Question

（1）若a、b、c、d是互不相等的整數，且整數x滿足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求證：4|（a+b+c+d）．
（2）已知兩個三位數

.

abc

與

.

def

的和

.

abc

+

.

def

能被37整除，證明：六位數

.

abcdef

也能被37整除．

Answer 1

分析：（1）x-a，x-b，x-c，x-d是互不相等的整數，且它們的乘積等于9，于是必須把9分解為4個互不相等的因數的積；
（2）因已知條件的數是三位數，故應設法把六位數

.

abcdef

用三位數的形式表示，以溝通已知與求證結論的聯系．

解答：證明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），
∴可設x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，
∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，
∴a+b+c+d=4x，
即4|（a+b+c+d）；

（2）∵

.

abcdef

=

.

abc

×1000+

.

def

=

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）
又∵

.

abc

和（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，
∴

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，即六位數

.

abcdef

能被37整除．

點評：本題考查的是數的整除性，解答此類問題的關鍵是熟知整除的性質．