Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，過A，C分別作AD和BC的垂線，交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F，AE＝CF，BE＝DF．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若BC＝4，∠CBD＝45°，且E，F是BD的三等分點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積．（直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【解析】

（1）證Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），得AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，AD∥BC，故四邊形ABCD是平行四邊形；（2）過C作CH⊥BD于H，證△CBF是等腰直角三角形，得BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，得BD＝6，故四邊形ABCD的面積＝BDCH．

（1）證明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠DAE＝∠BCF＝90°，

∵BE＝DF，

∴BE+EF＝DF+EF，

即BF＝DE，

在Rt△ADE與Rt△CBF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），

∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：過C作CH⊥BD于H，

∵∠CBD＝45°，

∴△CBF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝4，CH＝BC＝2，

∵E，F是BD的三等分點(diǎn)，

∴BD＝6，

∴四邊形ABCD的面積＝BDCH＝24．