Question

（2013•綏化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點D為直線BC上一動點（點D不與點B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF
（1）如圖1，當點D在線段BC上時．求證CF+CD=BC；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；
①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；
②若正方形ADEF的邊長為2

2

，對角線AE，DF相交于點O，連接OC．求OC的長度．

Answer 1

分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長，則OC即可求得．

解答：證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）CF-CD=BC；

（3）①CD-CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的邊長為2

2

且對角線AE、DF相交于點O．
∴DF=

2

AD=4，O為DF中點．
∴OC=

1

2

DF=2．

點評：本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用，證明三角形全等是關(guān)鍵．