Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（點B在點A左側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長AD交y軸于點E．

（1）若△OAC為等腰直角三角形，求m的值；
（2）若對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標（用含m的式子表示）；
（3）當點D運動到某一位置時，恰好使得∠ODB=∠OAD，且點D為線段AE的中點，此時對于該拋物線上任意一點P（x0 ， y0）總有n+ ≥﹣4 my02﹣12 y0﹣50成立，求實數(shù)n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，則x1=12，x2=4，

∴A（12，0），即OA=12，

又∵C（0，48m），

∴當△OAC為等腰直角三角形時，OA=OC，

即12=48m，

∴m=

（2）

解：由（1）可知點C（0，48m），

∵對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，

∴必有E（0，﹣48m），

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，

將E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得

，解得 ，

∴直線AE的解析式為y=4mx﹣48m，

∵點D為直線AE與拋物線的交點，

∴解方程組 ，可得 或 （點A舍去），

即點D的坐標為（8，﹣16m）

（3）

解：當∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD時，△ODB∽△OAD，

∴OD2=OA×OB=4×12=48，

∴OD=4 ，

又∵點D為線段AE的中點，

∴AE=2OD=8 ，

又∵OA=12，

∴OE= =4 ，

∴D（6，﹣2 ），

把D（6，﹣2 ）代入拋物線y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2 =36m﹣96m+48m，

解得m= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣4）（x﹣12），

即y= （x﹣8）2﹣ ，

∵點P（x0，y0）為拋物線上任意一點，

∴y0≥﹣ ，

令t=﹣4 my02﹣12 y0﹣50=﹣2y02﹣12 y0﹣50=﹣2（y0+3 ）2+4，

則當y0≥﹣ 時，t最大值=﹣2（﹣ +3 ）2+4= ，

若要使n+ ≥﹣4 my02﹣12 y0﹣50成立，則n+ ≥ ，

∴n≥3 ，

∴實數(shù)n的最小值為 ．

【解析】（1）根據(jù)y=mx2﹣16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根據(jù)OA=OC，即可得到12=48m，進而得出m的值；（2）根據(jù)C、E兩點總關(guān)于原點對稱，得到E（0，﹣48m），根據(jù)E（0，﹣48m），A（12，0）可得直線AE的解析式，最后解方程組即可得到直線AE與拋物線的交點D的坐標；（3）根據(jù)△ODB∽△OAD，可得OD=4 ，進而得到D（6，﹣2 ），代入拋物線y=mx2﹣16mx+48m，可得拋物線解析式，再根據(jù)點P（x0 ， y0）為拋物線上任意一點，即可得出y0≥﹣ ，令t=﹣2（y0+3 ）2+4，可得t最大值=﹣2（﹣ +3 ）2+4= ，再根據(jù)n+ ≥ ，可得實數(shù)n的最小值為 ．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達式，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法即可以解答此題．