Question

已知，關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0的兩個實數(shù)根為x₁、x₂．
（1）若方程的一個根是-1，求m的值；
（2）若y=（x₁+1）（x₂+1），試求出y與m的函數(shù)關系式以及m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=-1代入關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，然后解關于m的一元二次方程即可；
（2）根據(jù)韋達定理x1+x2=-

b

2a

、x1•x2=

c

a

以及根的判別式△=b²-4ac解答．

解答：解：（1）把x=-1代入關于x的二次方程m²x²+（2m+1）x+1=0，得
m²-2m-1+1=0（1分）
解得：m₁=0，m₂=2，（1分），
∵方程是二次方程，∴m≠0，∴m=2（1分）

（2）∵x₁、x₂是方程m²x²+（2m+1）x+1=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=-

2m+1

m2

，x1•x2=

1

m2

．（1分）
y=（x₁+1）（x₂+1）=x 1x2+(x1+x2)+1=

1

m2

-

2m+1

m2

+1=

m-2

m

，（3分）
∵方程有兩個實數(shù)根，∴△=（2m-1）²-4m²=4m+1≥0，m≥-

1

4

，（2分）
∴m的取值范圍是：m≥-

1

4

，且m≠0．（1分）

點評：本題綜合考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式．將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．