Question

（2012•南長(zhǎng)區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是AB邊上一點(diǎn)，AB=6，AC=BD=4，P是

BAC

的中點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD．
（1）求證：PD=PA；
（2）若cos∠PCB=

5

5

，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等弧對(duì)等弦以及全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E．根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)和垂徑定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵P是

BAC

的中點(diǎn)，
∴PB=PC
又∵∠PBA=∠PCA，BD=AC
∴△PBD≌△PCA
∴PD=PA  

（2）由（1）可知，當(dāng)BD=4時(shí)，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，則AE=0.5AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

∴PA=

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓心角、弧、弦的關(guān)系及解直角三角形的知識(shí)，綜合運(yùn)用了等弧對(duì)等弦的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的知識(shí)以及垂徑定理．