Question

2、在銳角△ABC中，三個內角的度數都是質數，且最短邊的長為1．則滿足這樣條件的互不全等的三角形個數為（　　）

A、1

B、2

C、3

D、多于3

Answer 1

分析：首先列舉出90以內的質數，根據三角形內角和定理可知有1個角為2°，另外2角的和為178°，即可得出三角形有且僅有一個，這是一個等腰三角形，然后根據最短邊的長為1，分腰為1與底為1兩種情況進行討論，據此即可解答．

解答：解：90以內的質數有：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
質數除2以外均為奇數，
三個奇數相加亦為奇數，
而三角形內角和的度數為180，是偶數，
所以必有一個角的度數為2，不妨設∠A=2°，那么∠B+∠C=178°=89°+89°，
△ABC為銳角三角形，如果不取∠B=∠C=89°，則必有一角＞90°，與銳角矛盾
所以滿足條件的三角形有且僅有一個：{2°，89°，89°}；
這是一個等腰三角形，
當腰為1時，底邊遠小于1（不符合題意，舍去），
當底為1時，腰長遠大于1，
所以滿足條件的[互不全等]的三角形有且僅有1個．
故選A．

點評：本題主要考查質數與合數，三角形的內角和定理，三角形的三邊關系，熟練掌握上述定理與性質是解答本題的關鍵．