Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2））過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個(gè)△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個(gè)三角形的底，通過(guò)點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積．
（3）通過(guò)三角形函數(shù)計(jì)算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45°，即OM為y=-x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=-3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點(diǎn)M．

（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y＝ax2+bx+c得

，

解得，

所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如解（2）圖1，過(guò)P點(diǎn)作PQ平行y軸，交AC于Q點(diǎn)，

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴直線AC解析式為y＝x+3，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），

∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．

∴S△PAC＝，

∴，

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．

當(dāng)x＝﹣1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），

綜上所述：若△PAC面積為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3），

（3）如解（3）圖1，過(guò)D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE垂直BC于E點(diǎn)，

∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點(diǎn)，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），

又∵A（﹣3，0），

∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，

∵B（1，0），C（0，3）

∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．

∵AC＝4，

∴AE＝ACsin∠ABC＝＝，BE＝，

∴CE＝，

∴tan∠ACB＝，

∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，

∴∠ACB＝∠PAB，

∴使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2

Ⅰ．當(dāng)∠AOM＝∠CAB＝45°時(shí)，△ABC∽△OMA，

即OM為y＝﹣x，

設(shè)OM與AD的交點(diǎn)M（x，y）

依題意得：，

解得，

即M點(diǎn)為（，）．

Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，

∵直線BC解析式為y＝﹣3x+3．

∴直線OM為y＝﹣3x，設(shè)直線OM與AD的交點(diǎn)M（x，y）．則

依題意得：，

解得，

即M點(diǎn)為（，），

綜上所述：存在使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（，）或（，）．