Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、

B（0，1）、C（d，2）。

（1）求d的值；

（2）將△ABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖

像上。請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線B′C′交y軸于點(diǎn)G。問是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)P，

使得四邊形PGMC′是平行四邊形。如果存在，請求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）-3（2），（3）P′（，5），M′（，0），則點(diǎn)P′為所求的點(diǎn)P，點(diǎn)M′為所求的點(diǎn)M。

【解析】解：（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N。

在Rt△CNA和Rt△AOB中，

∵NC＝OA＝2，AC＝AB

∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。

∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，

又∵點(diǎn)C在第二象限，∴d＝－3。

（2）設(shè)反比例函數(shù)為，點(diǎn)C′和B′在該比例函數(shù)圖像上，

設(shè)C′（c，2），則B′（c＋3，1）。

把點(diǎn)C′和Ｂ′的坐標(biāo)分別代入，得k＝2 c；k＝c＋3。

∴2 c＝c＋3，c＝3，則k＝6�！喾幢壤�函數(shù)解析式為。

得點(diǎn)C′（3，2）；B′（6，1）。

設(shè)直線C′B′的解析式為y＝ax＋b，把C′、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得。

∴直線C′B′的解析式為。

（3）設(shè)Q是G C′的中點(diǎn)，由G（0，3），C′（3，2），得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

2＋�！郠（，）。

過點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，

與的圖象交于P′點(diǎn)，若四邊形P′G M′ C′是平行四邊形，則有P′Q＝Q M′，易知點(diǎn)M′的橫坐標(biāo)大于，點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)小于。

作P′Ｈ⊥x軸于點(diǎn)H，QK⊥y軸于點(diǎn)K，P′H與QK交于點(diǎn)E，作QF⊥x軸于點(diǎn)F，

則△P′EQ≌△QFM′  。

設(shè)EQ＝FM′＝t，則點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)x為，點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)y為，

點(diǎn)M′的坐標(biāo)是（，0）。

∴P′E＝。

由P′Q＝QM′，得P′E²＋EQ²＝QF²＋FM′²，∴，

整理得：，解得（經(jīng)檢驗，它是分式方程的解）。

∴，，。

∴P′（，5），M′（，0），則點(diǎn)P′為所求的點(diǎn)P，點(diǎn)M′為所求的點(diǎn)M。   

（1）作CN⊥x軸于點(diǎn)N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)和直線B′C′的解析式。

（3）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，取G C′的中點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線l與x軸交于M′點(diǎn)，與的圖象交于P′點(diǎn)，求出P′Q＝Q M′的點(diǎn)M′和P′的坐標(biāo)即可。