Question

（1）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖1所示的直角梯形，其中三邊長分別為5、9、12，則原直角三角形紙片的斜邊長是______．
（2）如圖2，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結(jié)論：①S₁+S₂=S₃+S₄，②S₂+S₄=S₁+S₃，③若S₃=2S₁，則S₄=2S₂，④若S₁=S₂，則P點在矩形的對角線上，其中正確的結(jié)論的序號是______．

Answer 1

解：（1）如圖：
因為CD==13，
點D是斜邊AB的中點，
所以AB=2CD=26，
②如圖：
因為CD==15，
點E是斜邊AB的中點，
所以AB=2CE=30，
原直角三角形紙片的斜邊長是26或30；

（2）如圖，過點P分別作PF⊥AB于點F，PE⊥BC于點E，
∵△APD以AD為底邊，△BDP以BC為底邊，
∴此時兩三角形的高的和為AB，即可得出S₁+S₃=矩形ABCD面積；
同理可得出S₂+S₄=矩形ABCD面積；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正確，則①S₁+S₂=S₃+S₄錯誤，
③若S₃=2S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此選項錯誤；
④若S₁=S₂，×PF×AB=PE×BC，
∴△APB與△PBC高度之比為：=，
∵∠PFB=∠FBE=∠PEB=90°，
∴四邊形EPFB是矩形，
∴此時矩形EPFB與矩形ABCD位似，
∴=，
∴P點在矩形的對角線上．
故④選項正確，
故答案為：②④．
分析：（1）先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求出斜邊上的中線，最后即可求出斜邊的長；
（2）根據(jù)三角形面積求法以及矩形性質(zhì)得出S₁+S₃=矩形ABCD面積，分別判斷得出即可．
點評：此題考查了圖形的剪拼，解題的關鍵是能夠根據(jù)題意畫出圖形，在解題時要注意分兩種情況畫圖，不要漏解．