Question

【題目】已知：如圖1，∠ACG=90°，AC=2，點(diǎn)B為CG邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點(diǎn)D作DF⊥CG于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)BC= 時(shí)，判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）如圖2，點(diǎn)B在CG上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點(diǎn)，連接AH，當(dāng)∠CAB=∠BAD=∠DAH時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）直線FD與以AB為直徑的⊙O相切，理由見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而求得BC的長(zhǎng)．

試題解析：

（1）判斷：直線FD與以AB為直徑的⊙O相切．

證明：如圖，

作以AB為直徑的⊙O；

∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，

∴△ADB≌△ACB，

∴∠ADB=∠ACB=90°．

∵O為AB的中點(diǎn)，連接DO，

∴OD=OB=AB，

∴點(diǎn)D在⊙O上．

在Rt△ACB中，BC=，AC=2；

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=∠BAD=30°，

∴∠ABC=∠ABD=60°，

∴△BOD是等邊三角形．

∴∠BOD=60°．

∴∠ABC=∠BOD，

∴FC∥DO．

∵DF⊥CG，

∴∠ODF=∠BFD=90°，

∴OD⊥FD，

∴FD為⊙O的切線．

（2）延長(zhǎng)AD交CG于點(diǎn)E，

同（1）中的方法，可證點(diǎn)C在⊙O上；

∴四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形．

∴∠FBD=∠1+∠2．

同理∠FDB=∠2+∠3．

∵∠1=∠2=∠3，

∴∠FBD=∠FDB，

又∠DFB=90°．

∴EC=AC=2．

設(shè)BC=x，則BD=BC=x，

∵∠EDB=90°，

∴EB=x．

∵EB+BC=EC，

∴x+x=2，

解得x=2﹣2，

∴BC=2﹣2．