Question

如圖，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：

（0，-4）

，并求出經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式．
（2）若拋物線的對(duì)稱軸DE交BC于D，在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（3，-4）或（3，-10）

．
（3）在拋物線的BC段上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)M在什么位置時(shí)，△BCM的面積最大？并求此時(shí)△BCM的面積．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC∽△COB，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可求出OC，繼而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）分兩種情況討論，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，確定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得出答案．
（3）在拋物線的BC段上取點(diǎn)M，連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，

1

4

（x-8）（x-2）），求出直線BC的解析式，可表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而得出MN的長(zhǎng)度，再由△BCM的面積=

1

2

MN×OB，可得出S_△BCM關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．

解答：解：（1）∵∠ACO+∠BCO=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

CO

OB

，即

2

OC

=

OC

8

，
∴OC=4，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-4）；
依題意可設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式為：y=a（x-8）（x+2），
將C的坐標(biāo)：（0，-4）代入得-4=a（0-8）（0+2），
解得：a=

1

4

，
故過點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式為：y=

1

4

（x-8）（x+2）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B、C的坐標(biāo)代入得：

8k+b=0 b=-4

，
解得：

k= 1 2 b=4

，
故直線BC的解析式為：y=

1

2

x-4，
拋物線解析式為y=

1

4

（x-8）（x+2）=

1

4

（x-3）²-

25

4

，
則拋物線的對(duì)稱軸為：x=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-

5

2

），

①若∠CPD=90°，
此時(shí)∠CDP₁=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DCP₁，
∴

DP1

AC

=

CP1

BC

，即

DP1

2 5

=

3

4 5

，
解得：DP₁=

3

2

，
故P₁的坐標(biāo)為（3，-4）；
若∠PCD=90°，此時(shí)∠P₂DC=∠BDE=∠BAC，
∴△ABC∽△DP₂C，
∴∠CP₂P₁=∠ABC，
∴△CP₂P₁∽△COB，
∴

CP1

OC

=

P1P2

OB

，即

3

4

=

P1P2

8

，
解得：P₁P₂=6，
故P₂的坐標(biāo)為：（3，-10）；
綜上可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，-4）或（3，-10）．

（3）在拋物線的BC段上取點(diǎn)M，（如圖）連接MC，MB，作MN⊥AB交BC于N，

設(shè)M的坐標(biāo)為（x，

1

4

（x-8）（x-2）），N的坐標(biāo)為（x，

1

2

x-4），
則MN=

1

2

x-4-

1

4

(x-8)(x+2)=-

1

4

x2+2x，
∴S_△BCM=

1

2

MN×OB=-x²+8x=-（x-4）²+16，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=4時(shí)，△BCM的面積最大，最大為16．
此時(shí)M的坐標(biāo)為（4，-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及配方法求最值的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要具有扎實(shí)的基本功，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，注意分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．