Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥CB，且AD=DC，E與F分別在AD和DC的延長線上，且DE=CF，AF與BE交于點P．
（1）求證：AF=BE；
（2）請你猜測∠BPF的度數(shù)，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出AD=AB，DE=CF，再由等腰梯形的同一底邊上的底角相等可得出∠BAE=∠ADF，從而可判斷△ABE≌△DAF，也可得出結論．
（2）根據(jù)（1）可得∠ABE=∠DAF，再由∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAF=∠BAE，結合題意可得出答案．

解答：解：（1）由題意得，BA=AD（等量代換），∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性質），
又∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代換），
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（對應邊相等）；

（2）∵∠DCB=60°，
∴∠BAE=120°，
由△BAE≌△ADF可得∠ABE=∠DAF，
故可得∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAE=120°．

點評：此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是熟練掌握等腰梯形的各個性質，難度一般．