Question

設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，且滿足

a4+b4+c4

2(a2b2+a2c2+b2c2)

＜1，則以長為a，b，c的三條線段

 

構(gòu)成三角形，（填“能”或“否”）

Answer 1

分析：先根據(jù)a，b，c均為正實數(shù)，則a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2a²c²-2b²c²＜0，求出-（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（b+c-a）＜0，再根據(jù)a，b，c均為正數(shù)可知（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0，再根據(jù)三角形的三邊均不為負數(shù)即可解答．

解答：解：∵a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2a²c²-2b²c²＜0，
∴（a²）²-2（b²+c²）a²+（b²+c²）²-4b²c²＜0，
（a²-b²-c²）²-4b²c²＜0，
∴（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²-2bc）＜0，
∴-（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（b+c-a）＜0，
∵a，b，c均為正數(shù)，
∴-（a+b+c）＜0，
∴（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0，
情況1：若a+b-c，a+c-b，b+c-a均大于0，則可以構(gòu)成三角形；
情況2：若只有a+b-c＞0，則a+c-b＜0且b+c-a＜0，
∴2c＜0與已知矛盾，
所以情況2不可能，即必可構(gòu)成三角形．
故能夠成直角三角形．

點評：本題考查的是分式的等式證明及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)已知條件得出（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0是解答此題的關(guān)鍵，在解此類題目時要注意完全平方式的運用．