Question

（2012•宜昌模擬）拋物線y=ax²和直線y=kx+b（k為正常數(shù)）交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，1），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，點(diǎn)D是拋物線上B．E之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為t，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作兩坐標(biāo)軸的平行線分別交直線AB于點(diǎn)C．B，設(shè)CD=r，MD=m．
（1）根據(jù)題意可求出a=

1

4

，點(diǎn)E的坐標(biāo)是

（2，1）

．
（2）當(dāng)點(diǎn)D可與B、E重合時(shí)，若k=0.5，求t的取值范圍，并確定t為何值時(shí)，r的值最大；
（3）當(dāng)點(diǎn)D不與B、E重合時(shí)，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以得到r的最大值，求k的取值范圍，并判斷當(dāng)r為最大值時(shí)m的值是否最大，說(shuō)明理由．（下圖供分析參考用）

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征知，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式，所以把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求得a的值；由拋物線y=ax²的對(duì)稱性知，點(diǎn)A、點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱；
（2）根據(jù)拋物線與直線的解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），則t的最小值是點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，t的最大值是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；由于點(diǎn)C在直線y=

1

2

x+2上，點(diǎn)D在拋物線y=

1

4

x²上，CD∥x軸，所以D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²）；最后由兩點(diǎn)間的距離公式求得r=|

1

2

（t-1）²-

9

2

|（2≤t≤4），所以根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來(lái)求當(dāng)r取最大值時(shí)t的值；
（3）①設(shè)D（t，

1

4

t²）．由一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²）．然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式知r=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，易知當(dāng)t=2k時(shí)，r取最大值．
②根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b中的k的幾何意義知k=

MD

CD

=

m

r

，即m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，顯然，當(dāng)t=2k時(shí)，m取最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，點(diǎn)A（-2，1）在拋物線y=ax²上，
∴1=（-2）²a，
解得，a=

1

4

．
∵拋物線y=ax²關(guān)于y軸對(duì)稱，AE∥x軸，
∴點(diǎn)A、E關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴E（2，1）．
故答案是：

1

4

，（2，1）．

（2）∵點(diǎn)A（-2，1）在直線y=kx+b（k為正常數(shù)）上，k=0.5，
∴1=-2×0.5+b，
解得，b=2，
即直線AB的解析式為y=

1

2

x+2．
∵由（1）知，拋物線的解析式y(tǒng)=

1

4

x²，拋物線y=

1

4

x²和直線y=

1

2

x+2（k為正常數(shù)）交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴

y= 1 4 x2 y= 1 2 x+2

，
解得，

x=-2 y=1

或

x=4 y=4

，
∴它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，1），（4，4），即B（4，4）．
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，t=2．當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，t=4，
∴t的取值范圍是：2≤t≤4．
∵點(diǎn)C在直線y=

1

2

x+2上，點(diǎn)D在拋物線y=

1

4

x²上，CD∥x軸，
∴D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²），
∴r=t-

t2-8

2

=-

1

2

（t-1）²+

9

2

（2≤t≤4）．
∵在2≤t≤4范圍內(nèi)，r隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=2時(shí)，r_最大=4．即當(dāng)t=2時(shí)，r取最大值．

（3）∵點(diǎn)A、B是直線與拋物線的交點(diǎn)，
∴kx+b=

1

4

x²，即x²-4kx-4b=0，
∴x_A+x_B=4k．
∵x_A=-2，
∴x_B=4k+2．
又∵點(diǎn)D不與B、E重合，
∴2＜t＜4k+2．
設(shè)D（t，

1

4

t²），則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

1

4

t²，將其代入y=kx+b中，得x=

1

4k

t²-

b

k

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²），
∴r=CD=t-（

1

4k

t²-

b

k

）=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，
當(dāng)t=2k時(shí)，r取最大值．
∴2＜2k＜4k+2，
解得，k＞1．
又∵k=

MD

CD

=

m

r

，
∴m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，
∴當(dāng)t=2k時(shí)，m的值也最大．
綜上所述，當(dāng)r為最大值時(shí)m的值也是最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)由待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)（二次函數(shù)）圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)最值的求法等．求二次函數(shù)最值時(shí)，此題采用了“配方法”．