Question

如圖，已知直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，直線l₂經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿△BOC的三邊按逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵?個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）求直線l₂的解析式；
（2）設(shè)△DCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）試探究：點(diǎn)P在x軸上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．

Answer 1

解：（1）由題意，知B（0，6），C（8，0），
設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，則
，
解得：，
故l₂的解析式為：y=-x+6；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥OC于點(diǎn)E，
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，
∵QE⊥CO，
∴∠QEC=90°，
∴BO∥QE，
∴△CBO∽△CQE，
∴=，
∵BO=6，CO=8，
∴BC==10，
QC=t，
∴=，
解得：QE=t，
∵直線l₁的解析式為y=3x+6，直線l₁與x軸相交于A點(diǎn)，
∴x=-2，
∴AO=2，則AC=2+8=10，即DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=×5×t=t，
如圖2，當(dāng)10＜t＜16時(shí)，
∵QO=16-t，DC=5，
∴△DCQ的面積為：S=×5×（16-t）=-t+40；

（3）如圖3，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q時(shí)，
∵∠PQC=90°，∠BOC=90°，∠QCP=OCB，
∴△BOC∽△PQC，
∴=，
∴=，
解得：t=，
如圖4，當(dāng)QP⊥OC于點(diǎn)C時(shí)，
∵QP⊥CO，BO⊥CO，
∴QP∥BO，
∴△QPC∽△BOC，
∴=，
∴=，
解得：t=，
綜上所述：當(dāng)t=，時(shí)，以點(diǎn)P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．
分析：（1）利用已知得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)當(dāng)0＜t≤10時(shí)以及當(dāng)10＜t＜16時(shí)，分別求出QE的長(zhǎng)即可得出答案；
（3）根據(jù)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q時(shí)，當(dāng)QP⊥OC于點(diǎn)C時(shí)，分別利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出t的值即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．