Question

（2013•杭州一模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2CD，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF，EC，BF，CF．
（1）求證△CBE≌△CFE；
（2）若CD=a，求四邊形BCFE的面積．

Answer 1

分析：連接DE，求出CD=BE，得出矩形BEDC，推出∠DEB=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出FE=AF，得出等邊三角形EFA，求出EF=AE=BE，∠EFA=60°，求出∠DFC=30°，求出∠CFE=90°，根據(jù)HL證出直角三角形全等即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出DE，BC，求出△CBE面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接DE，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AE=2BE，
∵AB=2DC，
∴CD=BE，
∵CD∥AB，∠CBA=90°，
∴四邊形CBED是矩形，
∵F為AD中點(diǎn)，∠DEA=90°，
∴EF=AF，
∵∠A=60°，
∴△AEF是正三角形，
∴AE=EF=AF，∠EFA=60°，
∵AE=BE，DF=AF
∴BE=EF=AF，CD=DF，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDF=180°-∠A=120°，
∴∠DFC=30°，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵在Rt△CBE和Rt△CFE中

CE=CE BE=EF

∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL）；

（2）解：∵CD=a，
∴AE=BE=a，
∵∠A=60°，
∴BC=DE=

3

a，
∴S△BCE=

3

2

a2，
∴S_{四邊形BCFE}=2S_△BCE=

3

a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．