Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC至F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝5．

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD＝BC，等量代換得到BC＝EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論，

（2）設(shè)BC＝CD＝x，則CF＝8﹣x根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵在菱形ABCD中，

∴AD∥BC且AD＝BC，

∵BE＝CF，

∴BC＝EF，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四邊形AEFD是矩形.

（2）解：設(shè)BC＝CD＝x，則CF＝8﹣x，

在Rt△DCF中，

∵x2＝（8﹣x）2+42 ，

∴x＝5，

∴CD＝5．