Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)O（0，0）．△AOB繞著O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′OB′，點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、B′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（I）如圖1，若α=30°，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖2，若0°＜α＜90°，設(shè)直線AA′和直線BB′交于點(diǎn)P，求證：AA′⊥BB′；

（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）B'的坐標(biāo)為（，3）；（2）見解析 ；（3）﹣2．

【解析】

（1）設(shè)A'B'與x軸交于點(diǎn)H，由OA=2，OB=2，∠AOB=90°推出∠ABO=∠B'=30°，

由∠BOB'=α=30°推出BO∥A'B'，由OB'=OB=2推出OH=OB'=，B'H=3即可得出；

（2）證明∠BPA'=90即可；

（3）作AB的中點(diǎn)M（1，），連接MP，由∠APB=90°，推出點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，除去點(diǎn)（2，），所以當(dāng)PM⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為﹣2．

（Ⅰ）如圖1，設(shè)A'B'與x軸交于點(diǎn)H，

∵OA=2，OB=2，∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠B'=30°，

∵∠BOB'=α=30°，

∴BO∥A'B'，

∵OB'=OB=2，

∴OH=OB'=，B'H=3，

∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（，3）；

（Ⅱ）證明：∵∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，

∴∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），

∵∠BOA'=90°+α，四邊形OBPA'的內(nèi)角和為360°，

∴∠BPA'=360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）=90°，

即AA'⊥BB'；

（Ⅲ）點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為．

如圖，作AB的中點(diǎn)M（1，），連接MP，

∵∠APB=90°，

∴點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，除去點(diǎn)（2，）．

∴當(dāng)PM⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最小值為﹣2．