Question

（2012•邵陽）如圖所示，直線y=-

3

4

x+b與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應(yīng)點為點C．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=∠BAC
①求證：△PBC∽△MPA；
②是否存在點P使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）A與C關(guān)于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)點C與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；
②首先求得B的坐標(biāo)，當(dāng)∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標(biāo)；
當(dāng)∠PMB=90°時，則∠PMA═90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標(biāo)可以求得．

解答：（1）解：∵A（4，0），且點C與點A關(guān)于y軸對稱，∴C（-4，0）．

（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC．
又∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直線y=-

3

4

x+b與x軸相交于點A（4，0），
∴把A（4，0）代入y=-

3

4

x+b，得：b=3．∴y=-

3

4

x+3．∴B（0，3）．
當(dāng)∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO
∴

PO

BO

=

BO

AO

，即

PO

3

=

3

4

．∴PO=

9

4

  即：P₁（-

9

4

，0）．
當(dāng)∠PMB=90°時，則∠PMA═90°（如圖）．
∴∠PAM+∠MPA=90°．
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°．
∴BP⊥AC．
∵過點B只有一條直線與AC垂直，
∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P₂的坐標(biāo)為：P₂（0，0）．
∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P₁（-

9

4

，0），P₂（0，0）．

點評：本題是一次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，正確證明△PBC∽△MPA是關(guān)鍵．