Question

如圖，P為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的圖象于點(diǎn)A，交函數(shù)y=

4

x

(x＞0)的圖象于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交y=

1

x

(x＞0)于點(diǎn)C，連接AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，求△ABC的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，△ABC的面積是否隨t值的變化而變化？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)和函數(shù)的解析式可以分別求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得三角形的面積；
（2）根據(jù)（1）中的方法進(jìn)行求解，看最后的結(jié)果是否為一個(gè)定值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等，即為2．
∵點(diǎn)A在函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的雙曲線上，
∴A點(diǎn)縱坐標(biāo)是

1

2

，
∵點(diǎn)B在函數(shù)y=

4

x

(x＞0)的圖象上
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2．
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是2，
∵點(diǎn)C在函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的雙曲線上
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)是

1

2

．
∴AB=

3

2

，BC=

3

2

∴△ABC的面積是：

1

2

×

3

2

×

3

2

=

9

8

．

（2）根據(jù)（1）中的思路，可以分別求得點(diǎn)A（t，

1

t

），B（t，

4

t

），C（

t

4

，

4

t

）．
∴AB=

3

t

，BC=

3

4

t，
∴△ABC的面積是

9

8

．
∴△ABC的面積不會(huì)隨著t的變化而變化．

點(diǎn)評(píng)：解答此題時(shí)要能夠根據(jù)解析式熟練地求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)計(jì)算線段的長(zhǎng)度．