Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP₀按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）

（1）求點(diǎn)P₆的坐標(biāo)；（2）求△P₅OP₆的面積；

（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)x_n、縱坐標(biāo)y_n都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，| y_n|）稱之為點(diǎn)P_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)P_n的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)P_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫(xiě)出來(lái)．

 

Answer 1

1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P₆落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P_n到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的倍，故其坐標(biāo)為P₆（0，2⁶），即P₆（0，64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽…∽△P_n－1OP_n．

設(shè)P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=，∴S_△P0OP1=×1×=，又

（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)次之后回到x軸正半軸，在這次中，點(diǎn)P_n分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，

①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在x軸上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（2ⁿ，0）；

②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在各象限的平分線上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（×2ⁿ，×2ⁿ），即（2^n—1，2^n—1）；

③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在y軸上，

此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（0，2ⁿ）．