Question

【題目】已知，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是對角線BD延長線上一點(diǎn)，AE=BD．將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，點(diǎn)B、E的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、E′．

（1）如圖1，當(dāng)α=30°時(shí)，求證：B′C=DE；

（2）連接B′E、DE′，當(dāng)B′E=DE′時(shí)，請用圖2求α的值；

（3）如圖3，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段B′E′上任意一點(diǎn)，試探究，在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PQ長度的取值范圍為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）≤PQ≤4+2

【解析】試題分析：(1)、連接AC，B′C，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出得出AC=AE=2OA，根據(jù)Rt△AOE的性質(zhì)得出∠E=30°，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△ADE和△AB′C全等，從而得出答案；(2)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△AEB′和△AE′D全等，從而得出∠DAE′=∠EAB′，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出∠EAE′=∠BAB′，從而得到∠BAB′=∠DAB′，最后根據(jù)∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案；(3)、點(diǎn)P作PM⊥BE，∵AB=4，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，根據(jù)BP=2得出PM=；在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABE在旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E在BA的延長線時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)E重合，然后求出PQ的長度，從而得出取值范圍.

試題解析：（1）如圖，連接AC，B′C， ∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°， ∵AE=BD， ∴AC=AE=2OA，

在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA， ∴∠E=30°，

∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°， 由旋轉(zhuǎn)有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°

∴∠DAE=15°，

在△ADE和△AB′C中， ， ∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，

（2）如圖，

由旋轉(zhuǎn)得，AB′=AB=AD，AE′=AE，

在△AEB′和△AE′D中， ，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，

∴∠EAE′=∠DAB′，由旋轉(zhuǎn)得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，

∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，

（3）如圖，由點(diǎn)到直線的距離，過點(diǎn)P作PM⊥BE，∵AB=4，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，

∴BP=2，∴PM= ，

在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABE在旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E在BA的延長線時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)E重合，

∴AQ=AE=BQ=4 ∴PQ=AQ+AP=4+2，

故答案為≤PQ≤4+2．