Question

【題目】如圖1在平面直角坐標系中，⊙O1與x軸切于A（﹣3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連AB．

（1）求證：∠ABO1=∠ABO；

（2）求AB的長；

（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O2與y軸的正半軸交于M，與O1B的延長線交于N，當⊙O2的大小變化時，得出下列兩個結論：①BM﹣BN的值不變；②BM+BN的值不變．其中有且只有一個結論正確，請判斷正確結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①BM﹣BN的值不變，理由見解析.

【解析】

（1）連接O1A，由圓O1與x軸切于A，根據切線的性質得到O1A垂直于OA，由OB與AO垂直，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O1A與OB平行，根據兩直線平行內錯角相等，得到一對內錯角相等，再由O1A=O1B，根據等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出∠ABO1=∠ABO，得證；
（2）作O1E⊥BC于點E，根據垂徑定理得到E為BC的中點，由BC的長求出BE的長，再由A的橫坐標得出OA的長，即為O1E的長，在直角三角形O1BE中，根據勾股定理求出O1B的長，用OE-BE求出OB的長，在直角三角形AOB中，根據勾股定理即可求出AB的長；
（3）兩個結論中，①BM-BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1為四邊形ABMN的外角，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代換可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代換可得出∠NMA=∠ANM，根據等角對等邊可得出AM=AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出AG=AB，由AO與BG垂直，根據三線合一得到O為BG的中點，根據OB的長求出BG的長，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG為常數得到BM-BN的長不變，得證．

（1）連接O1A，則O1A⊥OA，又OB⊥OA，

∴O1A∥OB，

∴∠O1AB=∠ABO，

又∵O1A=O1B，

∴∠O1AB=∠O1BA，

∴∠ABO1=∠ABO；

（2）作O1E⊥BC于點E，

∴E為BC的中點，

∵BC=8，

∴

∵A（﹣3，0），

∴O1E=OA=3，

在直角三角形O1BE中，

根據勾股定理得：

∴O1A=EO=5，

∴BO=5﹣4=1，

在直角三角形AOB中，

根據勾股定理得：

（3）①BM﹣BN的值不變，理由為：

證明：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，

∵∠ABO1為四邊形ABMN的外角，

∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO，

∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

∵∠AMG和∠ANB都為所對的圓周角，

∴∠AMG=∠ANB，

在△AMG和△ANB中，

∵

∴△AMG≌△ANB（SAS），

∴AG=AB，

∵AO⊥BG，

∴BG=2BO=2，

∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不變．