Question

已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．
（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖1），AF=，求DE的長(zhǎng)；
（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G（如圖2），△AED的外接圓與直線(xiàn)BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AF，AD的長(zhǎng)可以求得DF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊知EF=AF，再根據(jù)勾股定理即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，則折痕與AE的交點(diǎn)O即是其外接圓的圓心．設(shè)DE=x，根據(jù)三角形ADE的中位線(xiàn)定理求得OM=x，進(jìn)一步表示出ON的長(zhǎng)．根據(jù)直線(xiàn)和圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解．再根據(jù)直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長(zhǎng)，從而根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到FG=2OF．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得EF=AF=．
∴DF=AD-AF=．
在Rt△DEF中，DE=．（3分）

（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AO=EO．
取AD的中點(diǎn)M，連接MO．
則MO=DE，MO∥DC．
設(shè)DE=x，則MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．
延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD．
∴∠CNM=180°-∠C=90°．
∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．
∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．
∵△AED的外接圓與BC相切，
∴ON是△AED的外接圓的半徑．
∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴1²+x²=（4-x）²．
解這個(gè)方程，得x=．（6分）
∴DE=，OE=2-x=．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得AE⊥FG．
∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．
又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．
∴FG=2FO=．
∴折痕FG的長(zhǎng)是．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)矩形紙片折疊，利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認(rèn)識(shí)新事物的能力，本題對(duì)圖形折疊前后的不變量的把握、直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的準(zhǔn)確理解、方程思想的運(yùn)用意識(shí)和策略等具有可再抽象性．