Question

14、已知關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0，甲、乙兩人做游戲：他們輪流確定實數(shù)a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=10），讓甲先確定數(shù)，如果方程至少有一個解x₀，滿足-1≤x₀≤1，那么乙得勝；反之，則甲得勝．
（1）若a，b，c只能取非零實數(shù)，甲是否有必勝策略？為什么？
（2）若a，b，c可以取零，甲乙兩人中誰有必勝策略？為什么？

Answer 1

分析：（1）甲先選b=1，不論乙選a或c，甲總可以再選c或a，讓ac＞0，使得△=1-4ac＜0，說明甲有必勝策略；
（2）①若甲先選a或b，則乙可選c=0，這時x=0必是方程ax²+bx+c=0的一個解；
②若甲先選c≠0，則乙可令a=-c，設(shè)y=ax²+bx+c，x=-1和x=1的函數(shù)值的積小于0，說明圖象的交點在-1和1之間，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1內(nèi)的實根，即甲不論再選b為何值，乙總可以獲勝．
說明若a，b，c可以取零，乙有必勝策略．

解答：解：（1）如果a，b，c是非零實數(shù)，那么甲有必勝策略：甲先選b=1，不論乙選a或c，甲總可以再選c或a，使得△=1-4ac＜0，從而方程ax²+bx+c=0無解，即對于任意x，y≠0，所以甲必勝；
（2）如果a，b，c可以取零，那么乙有必勝策略：
①若甲先選a或b，則乙可選c=0，這時x=0必是方程ax²+bx+c=0的一個解；
②若甲先選c≠0，則乙可令a=-c，設(shè)y=ax²+bx+c，此時x=-1，y=a+b-a；x=1，y=a-b-a，（a+b-a）（a-b-a）=-b²≤0，說明圖象與x軸的交點在-1和1之間，所以方程ax²+bx+c=0必有在-1≤x≤1內(nèi)的實根，即甲不論再選b為何值，乙總可以獲勝．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根；同時考查了分類討論的思想方法和利用拋物線求一元二次方程根的范圍．