Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是線段AB，BC，CA上的點，
（1）若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論；
（2）若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論。

Answer 1

解：（1）△DEF是等邊三角形，
    證明如下：
     ∵△ABC是等邊三角形，
    ∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA
    又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA
     ∴△ADF≌△BED≌△CFE。
    ∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形。
（2）AD=BE=CF成立，
    證明如下：如圖，
    ∵△DEF是等邊三角形，
    ∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°
    ∴∠1+∠2=120°
    又∵△ABC是等邊三角形，
    ∴∠A=∠B=∠C=60°
    ∴∠2+∠3=120°
    ∴∠1=∠3 同理∠3=∠4
    ∴△ADF≌△BED≌△CFE
    ∴AD=BE=CF