Question

已知如圖1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角邊AC和AE重疊在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°．
（1）如圖1，填空：∠BAD=

 

；

BC

CD

=

 

；
（2）如圖2，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AE到AB邊上，∠ACH=∠BCH，連接BH，求∠CBH的度數(shù)；
（3）如圖3，點P是BE上一點，過A、E兩點分別作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分別為N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖1，由三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC=60°，則∠BAD=∠BAC+90°=150°；把BC、CD的長度均以AC表示，通過約分可以求得

BC

CD

的值；
（2）如圖2，連接CE、AH．先證等邊△ACE得AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．而∠AEH=∠ACH=45°，易推知∠HEC=∠HCE=15°，所以HE=HC．再證△AEH≌△ACH（SAS），由AH平分∠BAC、CH平分∠ACB，得到BH平分∠ABC，則∠CBH=15°；
（3）如圖3，過點E作EF⊥AN于點F，過點D作DG⊥AN于點G，可得矩形MEFN．可證△AEF≌△DAG．則DG=AF=AN-EM=5-2=3．所以S_△AND=

1

2

AN•DG=

1

2

×5×3=

15

2

．

解答：解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠BAC+90°=150°；
在Rt△ABC中，BC=AC•tan60°=

3

AC．
在Rt△ADE中，AD=AC，則CD=

2

AC，
∴

BC

CD

=

3 AC

2 AC

=

6

2

．
故答案是：150°，

6

2

；

（2）如圖2，連接CE、AH．
∵AC=AE，∠CAE=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴AE=AC，∠AEC=∠ACE=60°．
由∵∠AEH=∠ACH=45°，
∴∠HEC=∠HCE=15°，
∴HE=HC．
在△AEH與△ACH中，

HE=HC ∠AEH=∠ACH AE=AC

，
∴△AEH≌△ACH（SAS），
∴∠EAH=∠CAH，即AH平分∠BAC．
又∵∠ACH=∠BCH，即CH平分∠ACB，
∴BH平分∠ABC，則∠CBH=15°；

（3）如圖3，過點E作EF⊥AN于點F，過點D作DG⊥AN于點G．
∵AN⊥PC、EM⊥PC，
∴四邊形MEFN是矩形．可證△AEF≌△DAG．
∴DG=AF=AN-EM=5-2=3．
∴S_△AND=

1

2

AN•DG=

1

2

×5×3=

15

2

．

點評：本題考查了幾何變換綜合題．其中涉及到了圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的面積計算．圖形旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．