Question

（2009•河北）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=______，點(diǎn)Q到AC的距離是______；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；
（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)DE∥QB時(shí)，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t；
（4）①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，由PC²=QC²解得t；
②第二種情況，點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．
解答：解：（1）做QF⊥AC，
∵AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，AP=3-2=1；
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴，
∴，
解得：QF=；
故答案為：1，；

（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，
如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC==4，
得．
∴．
∴S=（3-t）•，
即S=；

（3）能．
①當(dāng)由△APQ∽△ABC，DE∥QB時(shí)，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得，
即．解得；
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得，
即．
解得，
綜上：在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t=或時(shí)，四邊形QBED能成為直角梯形；

（4）t=或t=．
注：①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C．
連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．
∵sinB===，
∴QG=（5-t），
同理BG=（5-t），
∴CG=4-（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[（5-t）]²+[4-（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂線，
∴PC=QC
則PC²=QC²，
得t²=[（5-t）]²+[4-（5-t）]²，
解得t=；
②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C，如圖5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²=（6-t）²=[（5-t）]²+[4-（5-t）]²，
即t=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定定理，線段比的有關(guān)知識(shí)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，同時(shí)考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答，難度較大．