Question

【題目】 如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E為直角邊AB上任意一點(diǎn)，以線段CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD面積的最大值為，其中正確的是______________.

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】

由三角形ABC與三角形ECD都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，CD=DE，且四個(gè)銳角為45°，利用等式的性質(zhì)得到∠BCE=∠ACD，故選項(xiàng)②正確；根據(jù)B與E重合時(shí)，A與D重合，此時(shí)DE與AC垂直；當(dāng)B，E不重合時(shí)，A，D也不重合，根據(jù)∠BAC與∠EDC都為直角，判斷∠AFE與∠DFC是否銳角，即可對(duì)于選項(xiàng)①做出判斷；由兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形BEC與三角形ADC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等及等式的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到AD與BC平行，可得出選項(xiàng)④正確；由④的結(jié)論判斷選項(xiàng)③即可；根據(jù)△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；由高一定，面積最大即為AD最長，故梯形ABCD面積最大時(shí)，E、A重合，求出此時(shí)面積，即為最大面積，即可對(duì)于選項(xiàng)⑤做出判斷．

∵△ABC，△ECD都為等腰直角三角形，

∴

∴∠ACB∠ACE=∠DCE∠ACE，即∠BCE=∠ACD，故選項(xiàng)②正確；

當(dāng)B，E重合時(shí)，A，D重合，此時(shí)DE⊥AC；

當(dāng)B，E不重合時(shí)，A，D也不重合，由∠BAC與∠EDC都為直角，得到∠AFE與∠DFC必為銳角，故①錯(cuò)誤；

④∵

∴

由①知∠ECB=∠DCA，

∴△BEC∽△ADC；

∴

∴,即AD∥BC，故④正確；

③∵由④知

∴

∵

∴，即∠BEC<∠EAD；

∴△EAD與△BEC不相似，故③錯(cuò)誤；

⑤∵△ABC的面積為定值，

∴若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；

∵△ACD中，AD邊上的高為定值，

∴若△ACD的面積最大，則AD的長最大；

由④的△BEC∽△ADC知：當(dāng)AD最長時(shí)，BE也最長；

故梯形ABCD面積最大時(shí),E、A重合,此時(shí)

故S梯形ABCD=，故⑤正確.

故答案為：②④⑤.