Question

如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別是AB、AC上的點，BD=2AD，EC=2AE，則sin∠BAC的值等于線段（　　）

• A、DE的長
• B、BC的長
• C、

  2

  3

  DE的長
• D、

  3

  2

  DE的長

Answer 1

分析：此題需要將∠BAC轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行求解，過C作⊙O的直徑CF，連接BF，由圓周角定理知∠CFB=∠CAB，因此只需在Rt△CBF中求出∠CFB的正弦值即可；可先通過△ADE∽△ABC求出DE、BC的比例關(guān)系，然后再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．

解答：解：如圖，作直徑CF，連接BF，
在Rt△CBF中，sin∠F=

BC

CF

=

BC

2

；
∵BD=2AD，EC=2AE，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
∴BC=3DE，
∴sin∠A=sin∠F=

BC

2

=

3DE

2

=

3

2

DE．
故選D．

點評：此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確地構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．