Question

【題目】如圖，已知點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足.連接CD，且交OE于點F．

（1）求證：OE是CD的垂直平分線．

（2）若∠AOB=60°，求證：OE=4EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據角平分線的性質得到ED=EC，證明Rt△ODE≌Rt△OCE，得到OD=OC，根據線段垂直平分線的判定定理證明結論；

（2）根據在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半解答即可．

試題解析：（1）證明：∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴ED=EC，

在Rt△ODE和Rt△OCE中，

，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，又ED=EC，

∴OE是CD的垂直平分線；

（2）∵∠AOB=60°，

∴∠BOE=30°，

∴OE=2DE，

∵ED⊥OB，OE⊥CD，∠BOE=30°，

∴∠FDE=30°，

∴DE=2EF，

∴OF：FE=3：1．

∴OE=4EF．