Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠A的平分線AD和邊BC的垂直平分線ED相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF垂直于AC交AC的延長線于點(diǎn)F．求證：AB﹣AC=2CF．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)首先得出DF=DM，再利用全等三角形的判定定理求出△AFD≌△AMD，即可得出AF=AM，再利用垂直平分線的性質(zhì)得出CD=BD，進(jìn)而得出Rt△CDF≌Rt△BDM，即可得出CF=BM，即可得出答案．

證明：連接CD，DB，作DM⊥AB于一點(diǎn)M，

∵AD平分∠A，DF⊥AC，DM⊥AB，

∴DF=DM（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）

∵AD=AD，

∠AFD=∠AMD=90°，

∴△AFD≌△AMD，

∴AF=AM，

∵DE垂直平分線BC，

∴CD=BD（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等），

∵FD=DM，∠AFD=∠DMB=90°，

∴Rt△CDF≌Rt△BDM，

∴BM=CF，

∵AB=AM+BM，AF=AC+CF，AF=AM，BM=CF，

∴AB=AC+2CF，

∴AB﹣AC=2CF．