Question

【題目】如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O 過點H，且AC=5，AB=6，連結EH，求△BHE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，

∴∠ACH=∠BCH，

∵OD⊥CA，OE⊥CB，

∴OE=OD，

∴圓O與CB相切于點E

（2）解：∵CA=CB，CH是高，

∴AH=BH= AB=3，

∴CH= =4，

∵點O在高CH上，圓O過點H，

∴圓O與AB相切于H點，

由（1）得圓O與CB相切于點E，

∴BE=BH=3，

如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，

∴△BEF∽△BCH，

∴ = ，即 = ，

解得：EF= ，

∴S△BHE= BHEF= ×3× =

【解析】（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積．
【考點精析】掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心是解答本題的根本，需要知道三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心．