Question

11．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺規(guī)作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）連接BD，若AD=4，求AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）分別以A、B為圓心，大于$\frac{1}{2}$AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)畫直線，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=4，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠DBA=30°，然后再計(jì)算出∠CBA的度數(shù)，進(jìn)而可得∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AD=2．

解答 解：如圖所示：

（2）∵ED是AB的垂直平分線，
∴AD=BD=4，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠DBA=30°，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=60°-30°=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AC=4+2=6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確掌握垂直平分線的作法，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．