Question

【題目】已知：平行四邊形ABCD，求作菱形AECF，使點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在BC、AD邊上

下面是小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.

作法：如圖

① 連接AC；

② 分別以A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點(diǎn)；

③ 連接MN，分別與BC、AD、AC交于E、F、O三點(diǎn)；

④ 連接AE、CF

四邊形AECF即為所求

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形：（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明

證明∵AM= ，AN= ，

∴MN是AC的垂直平分線。

（ ）（填推理的依據(jù)）

∴EF⊥AC，OA=OC，

∴平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠FAO=∠ECO

在△FAO和△ECO中

∴△FAO≌△ECO

∴OE=OF

又∵OA=OC

∴四邊形AECF是平行四邊形

（ ）（填推理依據(jù)）

∵EF⊥AC

∴四邊形AECF是菱形

（ ）（填推理依據(jù)）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)作法畫出圖形即可．

（2）先證明四邊形AECF為平行四邊形，然后利用對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形得到結(jié)論．

解：（1）如圖，四邊形AECF為所求作的菱形．

（2）證明：∵AM＝CM，AN＝CN，

∴MN是AC的垂直平分線，（到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）

∴EF⊥AC，OA＝OC

∵平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠FAO＝∠ECO，

在△FAO和△ECO中，，

∴△FAO≌△ECO，

∴OE＝OF

又∵OA＝OC

∴四邊形AECF是平行四邊形，（對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形）

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形．（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形）.

故答案為：CM，CN，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形．