Question

如圖，已知拋物線

（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這條拋物線與x軸一定有交點(diǎn)。
（2）設(shè)這條拋物線與x軸的正半軸交于兩點(diǎn)（設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），當(dāng)線段AB長(zhǎng)為3時(shí)，求這條拋物線的解析式，以及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。
（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作兩條直線與x軸垂直，又過(guò)點(diǎn)C作直線l，l與這兩條直線依次交于x軸上方的E、F兩點(diǎn)，如果梯形ABFE的面積等于9，求直線l的解析式。
（4）設(shè)線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，P從A點(diǎn)出發(fā)向B點(diǎn)移動(dòng)（但不與B重合），過(guò)P點(diǎn)作PM垂直x軸，交（2）中的拋物線于點(diǎn)M。設(shè)，問：是否存在這樣的t值，使與以P、M、B為頂點(diǎn)的直角三角形相似？如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由條件知，一元二次方程根的判別式為
                 
               ∵無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，都有成立，即成立
               ∴方程必定有實(shí)數(shù)根，即拋物線與x軸一定有交點(diǎn)。
    （2）由題意，可設(shè)，則
                由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，有
                
                  
                   解得
               當(dāng)時(shí)，與不符合，∴只取m=4
                 ∴所求拋物線的解析式為
                  當(dāng)時(shí)，解得
                
（3）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C 
            
           ∴可設(shè)直線l的解析式為： 
            分別與x軸垂直， 可設(shè)
            都在x軸上方，
              而
             
                即
                解得
                 ∴直線l的解析式為：
（4）存在t，使與相似
  
     而
     要使與相似，應(yīng)有兩種可能情形：
        <1>當(dāng)時(shí)，有
              即整理得
             ∵t=3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不合題意，∴t≠3
           
           取時(shí)，符合條件
<2>當(dāng)時(shí)，仍有
      即有整理，得
      解得
        當(dāng)t=0或t=3時(shí)均不符合題設(shè)條件，即這種情形不可能
         綜合<1><2>可知，存在t，當(dāng)它的值為時(shí)，可使與相似。