Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q．
（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長線交于點(diǎn)Q．設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2））由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．從而有AE≠AQ，再分類討論，當(dāng)AE=EQ時(shí)和AQ=EQ時(shí)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)就可以求出BE的值．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C，BC=2

2

．
又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C，
∴∠DEB=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，
∴

BP

BE

=

CE

CQ

．
設(shè)BP為x，CQ為y，
∴

x

2

=

2

y

．
∴y=

2

x

，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；
      
（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C，
∴∠AQE＞∠AEF．
∴AE≠AQ．
當(dāng)AE=EQ時(shí)，
∴∠EAQ=∠EQA，
∵∠AEQ=45°，
∴∠EAQ=∠EQA=67.5°，
∵∠BAC=90°，∠C=45，
∴∠BAE=∠QEC=22.5°．
∵在△ABE和△ECQ中，

∠B=∠C ∠BAE=∠CEQ AE=EQ

，
∴△ABE≌ECQ（AAS）．

∴CE=AB=2．
∴BE=BC-EC=2

2

-2；
當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知∠QAE=∠QEA=45°，
∴AE⊥BC．
∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．
∴BE=

2

．
綜上，在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時(shí)BE的長為2

2

-2或

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理利用相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．