Question

（2013•玉田縣一模）如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長，使延長的線段長度與原正六邊形的長度相等，順次連接這六條線段外端點(diǎn)可以得到一個新的正六邊形，重復(fù)上述過程，經(jīng)過8次后，所得到的正六邊形的邊長是原六邊形邊長的

81

倍．

Answer 1

分析：先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出∠1的度數(shù)，再根據(jù)AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數(shù)，求出AB的長，進(jìn)而可得出，經(jīng)過8次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的倍數(shù)．

解答：解：∵此六邊形是正六邊形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BD=

1

2

AC，
∴△ABC是直角三角形
又BC=

1

2

AC，
∴∠2=30°，
∴AB=

3

BC=

3

CD，
同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（

3

）²=3倍，
∴經(jīng)過8次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（

3

）⁸=81倍．
故答案為：81．

點(diǎn)評：本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定理．