Question

探索研究
已知如圖，過O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點(diǎn)M（2m，0）、交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，弧OBM與⊙P的弧OAM關(guān)于x軸對稱，其中A、B、C是過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點(diǎn)．點(diǎn)A到x軸的距離為h，以B為頂點(diǎn)且過D的拋物線交⊙P于點(diǎn)E．
（1）填空：B的坐標(biāo)為

（m，-h）

，C的坐標(biāo)為

（m，h-10）

，D的坐標(biāo)為

（0，2h-10）

；（可含m、h）
（2）當(dāng)m=4時，
①求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②點(diǎn)Q在y軸上，且S_△CEQ=S_△CEP，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接OP，PM，設(shè)AC與OM交于N，那么在直角三角形OPN中，ON=m，因此AN=BN=h，CN=AC-AN=10-h，所以B，C的坐標(biāo)分別為（m，-h），（m，h-10），
同理過P作OD的垂線，根據(jù)垂徑定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2h-10）；
（2）①可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知：E點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸x=4對稱，因此根據(jù)D的坐標(biāo)即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
②由①可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，-6），所以可求出過CE的直線解析式，進(jìn)而求出直線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)R，當(dāng)S_△CEQ=S_△CEP則QR=PC，則可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如果以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直平分，如果設(shè)BC，DE的交點(diǎn)為F，那么BF=CF，可用A點(diǎn)的縱坐標(biāo)即AN的長表示出BF和CF由此可求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）連接OP，PM，設(shè)AC與OM交于N，
∵⊙P的半徑為5，
∴AC=10，
∵點(diǎn)M（2m，0），
∴ON=MN=m，
∵點(diǎn)A到x軸的距離為h，
∴CN=AC-AN=10-h，
∴B（m，-h），C（m，h-10），
同理過P作OD的垂線，根據(jù)垂徑定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2h-10）
∴D（0，2h-10），
故答案為：（m，-h），（m，h-10），（0，2h-10）；
（2）①設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²-2，已知拋物線過D點(diǎn)，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

4

(x-4)2-2，
根據(jù)對稱可知：E（8，-6）；
②當(dāng)m=4時，則C（4，-8），由①可知E的坐標(biāo)為（8，-6），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
則

-8=4k+b -6=8k+b

，
解得：

k= 1 2 b=-10

∴直線CE：y=

1

2

x-10，
∴直線CE與y軸交于點(diǎn)R（0，-10），
當(dāng)S_△CEQ=S_△CEP時，則QR=PC，
∴Q（0，-5）或Q（0，-15）；
（3）假設(shè)以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，于是BF=CF．
∴-h-2h+10=2h-10-h+10，即h=

5

2

，
∴AB=5                     
∴B、P兩點(diǎn)重合，
∴m=

52-( 5 2

)2=

5

2

3

．：

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的解析式、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．