Question

某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的售價(jià)和成本進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下：每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條線段上的點(diǎn)來表示（如圖1），每件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線的一部分上的點(diǎn)來表示（如圖2）。

（說明：圖1、圖2中的每個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)所對應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份的售價(jià)和成本。）

請你根據(jù)圖象提供的信息回答：

（1）每件商品在3月份出售時(shí)的利潤（利潤＝售價(jià)－成本）是多少元？

（2）求圖2中表示的每件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（3）你能求出三月份至七月份每件商品的利潤W（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？（請寫出計(jì)算過程，不要求寫自變量的取值范圍）若該公司共有此種商品30000件，準(zhǔn)備在一個(gè)月內(nèi)全部售完，請你計(jì)算一下至少可獲利多少元？

Answer 1

解：（1）每件商品在3月份出售時(shí)的利潤為5元

（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）

∴設(shè)拋物線的解析式為Q=a(t-6)²+4

∵拋物線過（3，1）點(diǎn)

∴1=a(3-6)²+4

解得：a=-

∴Q=- (t-6)^­­2+4=-t²+4t-8,其中t=3、4、5、6、7   

（3）設(shè)每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b

∵線段過（3，6）、（6，8）兩點(diǎn)

∴

解得：k=,b=4

∴M=  t+4，其中t=3、4、5、6、7                         

所以每件商品的利潤W（元）與時(shí)間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為

W=M-Q=(t+4)-(-t²+4t-8)= t²-t+12          

∴W=(t-5)²+ ,其中t=3、4、5、6、7

∴當(dāng)t=5時(shí)，W的最小值為元                 

∴30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完，至少獲利30000×=110000元

答：30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完，至少獲利110000元.