Question

△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE。

（1）如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時。
 ①求證：△AEB≌△ADC；
 ②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（2）如圖（b）所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時，直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否成立；（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由。

Answer 1

證明：
（1）①
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°。
又∵∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC。
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°，
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC。
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形。
方法二：證出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC。
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG。
∴四邊形BCGE是平行四邊形。
（2）①②都成立。
（3）當(dāng)CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）時，四邊形BCGE是菱形。
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD，
又∵CD=CB，
∴BE=CB。由②得四邊形BCGE是平行四邊形，
∴四邊形BCGE是菱形。
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD。
又∵四邊形BCGE是菱形，
∴BE=CB
∴CD=CB。
方法三：
∵四邊形BCGE是平行四邊形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°
∴∠F=∠FBE=60°，
∴△BEF是等邊三角形．
又∵AB=BC，四邊形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°。