Question

在1，2，…，2007這2007個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中的每一個都與2007互質(zhì)，并且所取出的數(shù)中的任意三個的和都不是7的倍數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)2007=3×3×223，因而都與2007不互質(zhì)的數(shù)是3，2×3，3×3，…，669×3以及223，2×223，4×223，5×223，7×223，8×223；根據(jù)從1到2007所有的數(shù)中，除以7余數(shù)一定是1，2，3，4，5，若和都不是7的倍數(shù)的情況即可確定．從而確定數(shù)的個數(shù)．

解答：解：將1，2，…，2007分別用7除，余數(shù)為1、2、3、4、5…的各有286+1=287個；
余數(shù)為6、0的各有286個．
在1，2，，2007中，與2007不互質(zhì)的數(shù)有3，2×3，3×3，…，669×3以及223，2×223，4×223，5×223，7×223，8×223．
將這些與2007不互質(zhì)的數(shù)分別用7除，余數(shù)依次為3，6，2，5，1，4，0，3，6，2，5，1，4，0，，3，6，2，5以及6，5，3，2，0，6．
于是，在這些與2007不互質(zhì)的數(shù)中，余數(shù)為1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96個．
在1，2，…，2007且與2007互質(zhì)的數(shù)中，余數(shù)為1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190個．
要使所取出的數(shù)中的任意三個的和都不是7的倍數(shù)，至多取2個余數(shù)為0的數(shù)．
由于余數(shù)為（1，3，3）、（3，2，2）、（2，6，6）、（6，4，4）、（4，5，5）、（5，1，1）以及（1，2，4）、（3，6，5）的三數(shù)的和都是7的倍數(shù)，
因此，至多取2組其余數(shù)在圖2中不相鄰的全部數(shù)．
驗證可知，取2組余數(shù)為1、4的全部數(shù)，再取2個余數(shù)為0的數(shù)，符合題目的要求，且取出的數(shù)的個數(shù)達到最大值．
故最多可以取出192+192+2=386個數(shù)，使得所取出的數(shù)中的每一個都與2007互質(zhì)，并且所取出的數(shù)中的任意三個的和都不是7的倍數(shù)．

點評：本題主要考查了帶余數(shù)的數(shù)的除法，注意從1到2007所有的數(shù)中，除以7所得的余數(shù)的循環(huán)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．