Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)AC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，垂足為E，求線(xiàn)段PD的長(zhǎng)，當(dāng)線(xiàn)段PD最長(zhǎng)時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，x2-2x-3），則點(diǎn)D（x，x-3），則PD=x-3-（x2-2x-3）=-x2+3x，即可求解；

（3）分∠ACP=90°、∠P′AC=90°兩種情況，分別求解．

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

故：函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）設(shè)直線(xiàn)AC的表達(dá)式為：y＝kx+b，則：，

故直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），則點(diǎn)D（x，x﹣3），

∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，當(dāng)x＝時(shí)，PD的最大值為，

此時(shí)，點(diǎn)P（，﹣）；

（3）存在，理由：

①當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，

由（2）知，直線(xiàn)AC的表達(dá)式為：y＝x﹣3，

故直線(xiàn)CP的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3…②，

①②聯(lián)立并解得：x＝1或0（舍去x＝0），

故點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，﹣4）；

②當(dāng)∠P′AC＝90°時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)AP′的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，

將x＝3，y＝0代入并解得：b＝3，

故：直線(xiàn)AP′的表達(dá)式為：y＝﹣x+3…③，

聯(lián)立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3），

故：點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣2，5）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）或（﹣2，5）．