Question

已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，tanB=

4

3

，動點(diǎn)P、D分別在射線AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，設(shè)AP=x，△PCD的面積為y．
（1）求△ABC的面積；
（2）如圖，當(dāng)動點(diǎn)P、D分別在邊AB、AC上時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）如果△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求線段AP的長．

Answer 1

分析：（1）過C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分別用CH表示出AH、BH的長，進(jìn)而由AB=AH+BH=7求出CH的長，即可得到AH、BH的長，由三角形的面積公式可求得△ABC的面積；
（2）由∠DPA=∠ACB，可證得△DPA∽△BCA，根據(jù)相似三角形得出的成比例線段可求得AD的表達(dá)式，進(jìn)而可得到CD的長；過P作PE⊥AC于E，根據(jù)AP的長及∠A的度數(shù)即可求得PE的長；以CD為底、PE為高即可求得△PCD的面積，由此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系；
求自變量取值的時，關(guān)鍵是確定AP的最大值，由于P、D分別在線段AB、AC上，AP最大時D、C重合，可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出此時AP的長，由此可得到x的取值范圍；
（3）在（2）題中，已證得△ADP∽△ABC，根據(jù)相似三角形得到的比例線段，可得到PD的表達(dá)式；若△PDC是以PD為腰的等腰三角形，則可分兩種情況：PD=DC或PD=PC；
①如果D在線段AC上，此時∠PDC是鈍角，只有PD=DC這一種情況，聯(lián)立兩條線段的表達(dá)式，即可求得此時x的值；
②如果D在線段AC的延長線上，可根據(jù)上面提到的兩種情況，分別列出關(guān)于x的等量關(guān)系式，即可求得x的值．

解答：解：（1）作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，設(shè)CH=m；
∵tanB=

4

3

，∴BH=

3

4

m（1分）
∵∠A=45°，∴AH=CH=m
∴m+

3

4

m=7；（1分）
∴m=4；（1分）
∴△ABC的面積等于

1

2

×7×4=14；（1分）

（2）∵AH=CH=4，
∴AC=4

2

∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC；（1分）
∴

AD

AB

=

AP

AC

，即

4 2 -CD

7

=

x

4 2

∴CD=

32-7x

4 2

；（1分）
作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)E；
∵∠A=45°，AP=x，
∴PE=

x

2

；（1分）
∴所求的函數(shù)解析式為y=

1

2

•

32-7x

4 2

•

x

2

，即y=-

7

16

x2+2x；（1分）
當(dāng)D到C時，AP最大．
∵△CPA∽△BCA
∴

AP

AC

=

AC

AB

∴AP=

AC2

AB

=

32

7

，
∴定義域?yàn)?＜x＜

32

7

；（1分）

（3）由△ADP∽△ABC，得

PD

BC

=

AP

AC

，即

PD

5

=

x

4 2

；
∴PD=

5x

4 2

；（1分）
∵△PCD是以PD為腰的等腰三角形，
∴有PD=CD或PD=PC；
（i）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，
∵∠PDC是鈍角，只有PD=CD
∴

5x

4 2

=

32-7x

4 2

；
解得x=

8

3

；（1分）
（ii）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC的延長線上時，CD=

7x-32

4 2

，PC=

(x-4)2+42

（1分）
如果PD=CD，那么

32-7x

4 2

=

(x-4)2+42

解得x=16（1分）
如果PD=PC，那么

5x

4 2

=

(x-4)2+42

解得x₁=32，x2=

32

7

（不符合題意，舍去）（1分）
綜上所述，AP的長為

8

3

，或16，或32．

點(diǎn)評：此題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大．