Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F(xiàn)，E分別是對(duì)角線(xiàn)AC，BD的中點(diǎn)．
求證：EF=（BC-AD）．

Answer 1

【答案】分析：此題中連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G或CE、DA延長(zhǎng)線(xiàn)相交于G均可．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)易證明EF是構(gòu)造的三角形的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理就可證明．
解答：證明：方法一：
如圖所示，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E為BD中點(diǎn)，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分別是對(duì)角線(xiàn)AC，BD的中點(diǎn)
∴F、E是△AGC的為中位線(xiàn)，
∴EF∥BC，EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即EF=（BC-AD）．

方法二：如圖所示，設(shè)CE、DA延長(zhǎng)線(xiàn)相交于G．
∵E為BD中點(diǎn)，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F(xiàn)分別為CG，CA中點(diǎn)，
∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．
點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造輔助線(xiàn)，借助全等三角形的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)三角形的中位線(xiàn)，運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理就可證明．